Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = 3t² - 2t - 1. Вычислите её путь за 5 секунд от начала движения.

Для вычисления пути точки, движущейся прямолинейно, можно использовать интеграл от её скорости по времени. В данном случае скорость точки задана уравнением:

$v(t) = 3t^2 - 2t - 1.$

Путь $s(t)$ можно найти как интеграл от скорости по времени:

Интегрируем по частям:

Таким образом, путь за время $t$ будет:

где $C$ — постоянная интегрирования, которая определяется начальными условиями. Предположим, что в момент времени $t = 0$ путь $s(0) = 0$. Подставляем это в уравнение:

Теперь у нас есть полное уравнение для пути:

Чтобы найти путь за первые 5 секунд, подставим $t = 5$:

Таким образом, путь, пройденный точкой за 5 секунд, составляет 95 метров.