Сколькими нулями заканчивается произведение первых 2016 натуральных чисел?

Чтобы найти, сколько нулей на конце произведения первых 2016 натуральных чисел (то есть факториала 2016, обозначаемого как 2016!), нужно понять, сколько раз в факториале встречается множитель 10. Каждый множитель 10 образуется из пары чисел 2 и 5, а в любом факториале чисел 2 всегда больше, чем чисел 5. Таким образом, количество нулей на конце числа зависит от того, сколько раз 5 встречается в разложении чисел факториала.

Для этого используем следующий метод:

1. Разделим 2016 на 5, затем на 25, на 125 и так далее, пока результат деления не станет меньше 1. Каждый раз мы будем получать количество чисел, кратных 5, 25, 125 и т. д.

2. Для нахождения количества чисел, кратных 5, делим 2016 на 5:

   $$\left\lfloor \frac{2016}{5} \right\rfloor = 403$$

   Это означает, что в произведении чисел есть 403 числа, кратных 5.

3. Для чисел, кратных 25, делим 2016 на 25:

   $$\left\lfloor \frac{2016}{25} \right\rfloor = 80$$

   Это означает, что в произведении чисел есть 80 чисел, кратных 25.

4. Для чисел, кратных 125, делим 2016 на 125:

   $$\left\lfloor \frac{2016}{125} \right\rfloor = 16$$

   Это означает, что в произведении чисел есть 16 чисел, кратных 125.

5. Для чисел, кратных 625, делим 2016 на 625:

   $$\left\lfloor \frac{2016}{625} \right\rfloor = 3$$

   Это означает, что в произведении чисел есть 3 числа, кратных 625.

6. Для чисел, кратных 3125, делим 2016 на 3125:

   $$\left\lfloor \frac{2016}{3125} \right\rfloor = 0$$

   Поскольку результат меньше 1, можем остановиться.

Теперь складываем все результаты:

Таким образом, произведение первых 2016 натуральных чисел заканчивается 502 нулями.