Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:

Ответы на вопрос

Отвечает Мисюкевич Дарья.

Даны две прямые:

x+5y-35=0

3x+2y-27=0

Нужно доказать, что они пересекаются, и найти точку пересечения.

Прямые на плоскости пересекаются, если система их уравнений имеет единственное решение. Рассмотрим систему:

\begin{cases} x+5y-35=0,\\ 3x+2y-27=0. \end{cases}

Перепишем её в более удобном виде:

\begin{cases} x+5y=35,\\ 3x+2y=27. \end{cases}

Проверим, не являются ли прямые параллельными. Для этого сравним коэффициенты при $x$ и $y$ :

\frac{1}{3} \neq \frac{5}{2}.

Так как отношения коэффициентов при $x$ и $y$ не равны, прямые не параллельны. Значит, они пересекаются в одной точке.

Теперь найдём эту точку.

Из первого уравнения выразим $x$ :

x=35-5y.

Подставим это выражение во второе уравнение:

3(35-5y)+2y=27.

Раскроем скобки:

105-15y+2y=27.

105-13y=27.

Перенесём $105$ вправо:

-13y=27-105.

-13y=-78.

Отсюда:

y=6.

Теперь найдём $x$ . Подставим $y=6$ в уравнение

x=35-5y.

Получаем:

x=35-5\cdot 6=35-30=5.

Значит, точка пересечения имеет координаты:

(5;6).

Проверим подстановкой.

Для первой прямой:

5+5\cdot 6-35=5+30-35=0.

Для второй прямой:

3\cdot 5+2\cdot 6-27=15+12-27=0.

Обе равенства верны, значит точка действительно принадлежит обеим прямым.

Ответ:

\boxed{(5;6)}

Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения: x+5y-35=0 3x+2y-27=0