В начале каждого месяца кружок «Юный следопыт» принимает новых участников. Сначала им присваивают статус «новичок», в этом статусе они участвуют в кружке три месяца. В начале четвёртого месяца им присваивают статус «любитель», а в конце пятого они становятся опытными следопытами. В сентябре в кружке было 15 новичков и 19 любителей, а в ноябре — 21 новичок и 12 любителей. Сколько любителей будет в кружке к Математическому празднику, который проходит 16 февраля?

Ответ: 18 любителей.

Обозначим через количество принятых в начале каждого месяца новых участников.

Участник считается:

новичком 3 месяца: в месяц поступления, следующий месяц и ещё один месяц;

любителем 4-й и 5-й месяцы;

после конца 5-го месяца становится опытным следопытом.

Значит, если смотреть на какой-то месяц, то:

число новичков — это сумма принятых в этот месяц и в два предыдущих месяца;

число любителей — это сумма принятых 3 и 4 месяца назад.

Пусть:

в сентябре приняли $S$ человек;

в августе приняли $A$;

в июле приняли $J$;

в октябре приняли $O$;

в ноябре приняли $N$.

В сентябре было 15 новичков. Новичками в сентябре являются те, кто пришёл в сентябре, августе и июле:

В ноябре было 12 любителей. Любителями в ноябре являются те, кто пришёл в августе и июле:

Из этих двух равенств получаем:

То есть в сентябре приняли 3 человека.

Теперь используем условие про ноябрьских новичков. В ноябре новичками являются те, кто пришёл в ноябре, октябре и сентябре:

Так как $S = 3$, получаем:

К 16 февраля любителями будут те, кто пришёл в октябре и ноябре:

октябрьские участники в феврале находятся в своём 5-м месяце;

ноябрьские участники в феврале находятся в своём 4-м месяце.

Значит, число любителей 16 февраля равно:

Ответ: 18.