В классе учится 21 человек, из них 14 человек посещают театральный кружок, а 11 человек — кружок по рисованию. Выберите верные утверждения. В ответе укажите номера выбранных утверждений. 1) Нет ученика, который не посещает ни театральный кружок, ни кружок по рисованию. 2) Найдётся хотя бы 2 человека, которые посещают оба кружка. 3) Если ученик не ходит в театральный кружок, то он обязательно ходит в кружок по рисованию. 4) Не найдётся 12 человек, которые посещают оба кружка.

Обозначим:

• всего в классе $21$ человек;

• театральный кружок посещают $14$ человек;

• кружок по рисованию посещают $11$ человек;

• пусть $x$ — число учеников, которые посещают оба кружка.

Тогда число учеников, которые посещают хотя бы один кружок, равно

Но в классе всего $21$ человек, значит

Также очевидно, что $x$ не может быть больше меньшего из двух кружков:

Итак, возможные значения $x$: от $4$ до $11$.

Теперь проверим утверждения.

1) Нет ученика, который не посещает ни театральный кружок, ни кружок по рисованию.
Это означало бы, что хотя бы один кружок посещают все $21$ ученик, то есть

Такое значение возможно, но не обязательно (например, при $x=5$ получим $25-5=20$, и тогда 1 ученик не ходит никуда). Значит утверждение не всегда верно.

2) Найдётся хотя бы 2 человека, которые посещают оба кружка.
Мы нашли, что $x \ge 4$. Тогда точно есть как минимум 4 человека в обоих кружках, значит уж хотя бы 2 — точно есть. Утверждение верно.

3) Если ученик не ходит в театральный кружок, то он обязательно ходит в кружок по рисованию.
Это означает: все, кто не в театральном, должны быть в рисовании. Не в театральном $21-14=7$ человек. Чтобы все эти 7 были в рисовании, рисование должно включать как минимум этих 7, что возможно, но это снова зависит от пересечения. Например, при $x=5$ получается, что хотя бы один ученик не ходит никуда, и тогда найдётся ученик, который не в театральном и не в рисовании — условие нарушится. Следовательно, утверждение не всегда верно.

4) Не найдётся 12 человек, которые посещают оба кружка.
Мы получили верхнюю границу $x \le 11$. Значит $12$ человек в обоих кружках быть не может. Утверждение верно.

Ответ: 2, 4.