найдите наименьшее значение функции y = x√x - 3x + 23 на отрезке [0; 9]

Ответы на вопрос

Отвечает Мустафаев Дилявер.

Давайте разберёмся с задачей пошагово, как это сделал бы я на сайте с вопросами и ответами.

Нам дана функция:

y = x \sqrt{x} - 3x + 23

на отрезке $[0; 9]$ , и нужно найти её наименьшее значение.

Так как $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , функция примет вид:

y = x \cdot x^{1/2} - 3x + 23 = x^{3/2} - 3x + 23

Для поиска экстремумов берём производную по $x$ :

y' = \frac{d}{dx} (x^{3/2} - 3x + 23) = \frac{3}{2} x^{1/2} - 3

Приравниваем производную к нулю:

\frac{3}{2} \sqrt{x} - 3 = 0

\frac{3}{2} \sqrt{x} = 3

\sqrt{x} = 2

x = 4

Критическая точка $x = 4$ лежит на отрезке $[0; 9]$ , значит её нужно проверять.

y = 0^{3/2} - 3\cdot0 + 23 = 23

y = 4^{3/2} - 3 \cdot 4 + 23

4^{3/2} = ( \sqrt{4} )^3 = 2^3 = 8

y = 8 - 12 + 23 = 19

y = 9^{3/2} - 3 \cdot 9 + 23

9^{3/2} = ( \sqrt{9} )^3 = 3^3 = 27

y = 27 - 27 + 23 = 23

y(0) = 23, \quad y(4) = 19, \quad y(9) = 23

Наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[0; 9]$ равно 19, и достигается при $x = 4$ .

Ответ:

\boxed{19}

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос