У круглого стола поставили 4 стула. Сколькими способами можно рассадить на эти стулья: а) 4-х детей; б) 3-х детей; в) 2-х детей.

Давай разберёмся с этой задачей шаг за шагом. Поскольку стол круглый, нужно учитывать, что поворот всей расстановки вокруг стола не создаёт новой уникальной расстановки — то есть расстановка считается одинаковой, если мы можем получить одну из другой просто поворотом стола.

У нас есть 4 стула вокруг круглого стола.

а) 4 ребёнка на 4 стула

При круглом столе количество различных способов рассадки $n$ человек на $n$ стульев считается по формуле:

То есть нужно переставить всех детей, но при этом фиксируем один стул как “точку отсчёта”, чтобы учесть поворот.

Ответ для 4 детей: 6 способов.

б) 3 ребёнка на 4 стула

Сначала нужно выбрать, на каких 3 стульях будут сидеть дети. Поскольку стол круглый, можно зафиксировать один стул как отправную точку, чтобы учесть вращение. Тогда количество комбинаций посадки 3 детей на 4 стула вокруг круга можно вычислить так:

1. Общее количество способов выбрать 3 стула из 4 (без учёта вращения) — $C_4^3 = 4$.

2. Для каждого выбора 3 стульев рассаживаем 3 детей. Поскольку это три стула в круге, количество различных рассадок трёх детей вокруг 3 стульев (с учётом кругового поворота) — $(3-1)! = 2!\ = 2$.

Итого: $4 \times 2 = 8$ способов.

Ответ для 3 детей: 8 способов.

в) 2 ребёнка на 4 стула

Теперь нужно выбрать 2 стула из 4. При 2 детях вокруг круга рассматривать поворот так же нужно:

1. Выбираем 2 стула из 4: $C_4^2 = 6$.

2. На двух выбранных стульях садим 2 детей. Поскольку они на круге, поворот на 180° даст одинаковую рассадку, если два стула противоположные.

Разберём ситуации:

• Если выбранные стулья соседние (4 варианта: 1-2, 2-3, 3-4, 4-1), то перестановки 2 детей учитываются, но поворот на 180° даст ту же рассадку? Нет, поворот на 180° на соседних стульях меняет порядок детей, так что разные. Значит 2! = 2 для каждой пары.

• Если выбранные стулья противоположные (2 варианта: 1-3, 2-4), то перестановка детей не создаёт новых вариантов, потому что поворот на 180° даст ту же рассадку. Значит 1 способ для каждой пары.

Итого: $4 \times 2 + 2 \times 1 = 8 + 2 = 10$ способов.

Ответ для 2 детей: 10 способов.

✅ Итоговые ответы:

• а) 4 детей: 6 способов

• б) 3 детей: 8 способов

• в) 2 детей: 10 способов