Признак делимости на число 97.

Признак делимости на 97 не такой простой, как признаки делимости на 2, 3, 5, 9 или 11, потому что 97 — довольно большое простое число. Но удобный признак всё-таки есть.

Самый практичный способ такой:

Число делится на 97, если после многократного применения правила “отделить последнюю цифру, умножить её на 29 и вычесть из оставшейся части числа” получается число, делящееся на 97.

То есть для числа вида

где $b$ — последняя цифра, а $a$ — число без последней цифры, нужно заменить число на

Если результат делится на 97, то и исходное число делится на 97.

Почему именно 29? Потому что

а

так как

Поэтому такая замена сохраняет делимость на 97.

Разберём пример.

Проверим число 9409.

Отделяем последнюю цифру:

Берём число без последней цифры: 940.

Последнюю цифру 9 умножаем на 29:

Вычитаем:

Теперь проверяем 679 тем же способом.

Последняя цифра 9, оставшаяся часть 67:

Число $-194$ делится на 97, потому что

Значит, 9409 делится на 97.

Проверим:

Действительно делится.

Ещё пример: проверим число 12345.

Отделяем последнюю цифру 5:

Теперь для 1089:

Число $-153$ не делится на 97. Значит, 12345 не делится на 97.

Есть и другой удобный признак, основанный на том, что

Можно разбивать число на группы по две цифры справа налево. Например, число

можно представить как

Так как $100 \equiv 3 \pmod{97}$, то степени числа 100 можно заменять степенями тройки по модулю 97.

Например, проверим число 9409.

Разобьём его на пары цифр:

Тогда считаем:

А

Значит, 9409 делится на 97.

Для больших чисел этот способ часто удобнее, потому что работа идёт не с отдельными цифрами, а с парами цифр.

Например, проверим число 123456.

Разбиваем справа налево:

Теперь используем степени числа 3:

Получаем:

Теперь проверяем 266:

72 не делится на 97, значит, 123456 не делится на 97.

Можно сформулировать кратко:

Признак 1:
Отделить последнюю цифру, умножить её на 29 и вычесть из оставшегося числа. Повторять, пока не получится небольшое число. Если оно делится на 97, то исходное число делится на 97.

Признак 2:
Разбить число на пары цифр справа налево и сложить эти пары с коэффициентами $1, 3, 9, 27, 81, \ldots$, считая справа налево. Если полученная сумма делится на 97, то и исходное число делится на 97.

На практике самый простой для устного счёта признак:

Именно его чаще всего удобно использовать как признак делимости на 97.