В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Вычислить объем конуса, если сторона основания пирамиды равна 14, а боковое ребро 10.

В правильную четырёхугольную пирамиду вписан конус так, что его основание — окружность, вписанная в квадрат основания пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Сторона квадрата равна \( 14 \), значит радиус основания конуса:

\[ r=\frac{14}{2}=7. \]

Найдём высоту пирамиды. Расстояние от центра основания до вершины квадрата:

\[ R=\frac{14\sqrt2}{2}=7\sqrt2. \]

Боковое ребро пирамиды равно \( 10 \). По теореме Пифагора:

\[ h^2+(7\sqrt2)^2=10^2. \]

\[ h^2+98=100, \quad h^2=2, \quad h=\sqrt2. \]

Высота конуса такая же: \( h=\sqrt2 \).

Объём конуса:

\[ V=\frac13\pi r^2h. \]

Подставим:

\[ V=\frac13\pi\cdot 7^2\cdot \sqrt2=\frac{49\pi\sqrt2}{3}. \]

Ответ: \( \frac{49\pi\sqrt2}{3} \).

0 0 Пожаловаться