Докажите, что если треугольник прямоугольный, то медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник, \(\angle C=90^\circ\). Гипотенуза — это сторона \(AB\). Проведём медиану \(CM\) из вершины прямого угла к гипотенузе, значит точка \(M\) — середина \(AB\).

В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин треугольника. То есть:

\[MA=MB=MC\]

Так как \(M\) — середина гипотенузы \(AB\), то:

\[MA=MB=\frac{AB}{2}\]

А поскольку \(MC=MA\), получаем:

\[MC=\frac{AB}{2}\]

Значит, медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

0 0 Пожаловаться