Помогите вычислить производную функции первого порядка, заданной неявно:

x^2*y + arctg(y/x)=0

Дана неявная функция:

\[x^2y+\operatorname{arctg}\frac{y}{x}=0\]

Считаем, что \(y\) зависит от \(x\), то есть производная \(y\) равна \(y'\).

Дифференцируем первое слагаемое:

\[(x^2y)'=2xy+x^2y'\]

Теперь второе слагаемое. Пусть \(u=\frac{y}{x}\), тогда:

\[\left(\operatorname{arctg}\frac{y}{x}\right)'=\frac{\left(\frac{y}{x}\right)'}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}=\frac{xy'-y}{x^2+y^2}\]

Получаем уравнение:

\[2xy+x^2y'+\frac{xy'-y}{x^2+y^2}=0\]

Соберём слагаемые с \(y'\):

\[y'\bigl(x^2(x^2+y^2)+x\bigr)+2xy(x^2+y^2)-y=0\]

Отсюда:

\[y'=\frac{y-2xy(x^2+y^2)}{x^2(x^2+y^2)+x}\]

Ответ: \[y'=\frac{y\bigl(1-2x(x^2+y^2)\bigr)}{x^2(x^2+y^2)+x}\]

0 0 Пожаловаться