1)arctg(-1)-arctg1=2)arcsin1-arccos(-корень из 2 на 2)=3)arcsin(-1/2)-arctg корень из трех=4)arcsin1+arcctg корень из трех=

Решу по определениям главных значений:
$\arctan x\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})$, $\arcsin x\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$, $\arccos x\in[0,\pi]$, $\operatorname{arcctg}x\in(0,\pi)$.

1. $\arctg(-1)-\arctg(1)$.
   $\arctg(-1)=-\tfrac{\pi}{4}$, $\arctg(1)=\tfrac{\pi}{4}$.
   Итого: $-\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{\pi}{2}$.

2. $\arcsin 1-\arccos\!\big(-\tfrac{\sqrt2}{2}\big)$.
   $\arcsin 1=\tfrac{\pi}{2}$.
   $\arccos(-\tfrac{\sqrt2}{2})=\tfrac{3\pi}{4}$ (так как $\cos\tfrac{3\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt2}{2}$).
   Итого: $\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{3\pi}{4}=-\tfrac{\pi}{4}$.

3. $\arcsin\!\big(-\tfrac12\big)-\arctg\sqrt3$.
   $\arcsin(-\tfrac12)=-\tfrac{\pi}{6}$.
   $\arctg\sqrt3=\tfrac{\pi}{3}$.
   Итого: $-\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\pi}{3}=-\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{2\pi}{6}=-\tfrac{\pi}{2}$.

4. $\arcsin 1+\operatorname{arcctg}\sqrt3$.
   $\arcsin 1=\tfrac{\pi}{2}$.
   $\operatorname{arcctg}\sqrt3=\tfrac{\pi}{6}$ (так как $\cot\tfrac{\pi}{6}=\sqrt3$