Исследуйте функцию y = (1/6)x² - 3ln x на монотонность и экстремумы.

Функция:

\[y=\frac{1}{6}x^2-3\ln x\]

Область определения: логарифм \( \ln x \) существует только при \( x>0 \), значит:

\[D(y)=(0;+\infty)\]

Найдём производную:

\[y'=\frac{1}{3}x-\frac{3}{x}\]

Приведём к общей дроби:

\[y'=\frac{x^2-9}{3x}\]

Критические точки получаем из условия \( y'=0 \):

\[x^2-9=0\]

\[x=3\]

Точка \( x=-3 \) не подходит, потому что \( x>0 \).

Исследуем знак производной:

• при \( 0<x<3 \): \( y'<0 \), функция убывает;
• при \( x>3 \): \( y'>0 \), функция возрастает.

Значит при \( x=3 \) функция имеет минимум.

Найдём значение функции:

\[y(3)=\frac{1}{6}\cdot 9-3\ln 3=\frac{3}{2}-3\ln 3\]

Ответ: функция убывает на \( (0;3) \), возрастает на \( (3;+\infty) \). В точке \( x=3 \) — минимум, его значение \( \frac{3}{2}-3\ln 3 \). Максимума нет.

0 0 Пожаловаться