Вычислить производную сложной функции y=(5x+1)^9. Исследовать функцию на монотонность y=x^3–3x+2.

Вычисление производной функции $y = (5x + 1)^9$

Для того чтобы найти производную функции $y = (5x + 1)^9$, используем правило цепочки.

Функция $y = (5x + 1)^9$ — это сложная функция, которая состоит из внешней функции $u^9$, где $u = 5x + 1$, и внутренней функции $u = 5x + 1$.

1. Найдем производную внешней функции по $u$:

   $$\frac{d}{du} u^9 = 9u^8$$

2. Теперь найдем производную внутренней функции $u = 5x + 1$:

   $$\frac{d}{dx}(5x + 1) = 5$$

Используем правило цепочки:

Таким образом, производная функции $y = (5x + 1)^9$ будет:

Исследование функции на монотонность $y = x^3 - 3x + 2$

Чтобы исследовать монотонность функции $y = x^3 - 3x + 2$, нужно найти её производную и изучить, при каких значениях $x$ эта производная положительна, а при каких отрицательна.

1. Найдем производную функции $y = x^3 - 3x + 2$:

   $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$$

2. Для анализа монотонности исследуем знак производной. Для этого приравняем производную к нулю:

   $$3x^2 - 3 = 0$$

   Разделим обе стороны на 3:

   $$x^2 - 1 = 0$$

   Получаем:

   $$x^2 = 1$$

   Следовательно, $x = 1$ или $x = -1$.

3. Теперь исследуем знак производной на интервалах, которые получаются из корней $x = -1$ и $x = 1$: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$.

   • Для $x < -1$ (например, $x = -2$): подставляем в производную:

     $$\frac{dy}{dx} = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$$

     Знак производной положительный, значит функция возрастает на интервале $(-\infty, -1)$.

   • Для $-1 < x < 1$ (например, $x = 0$): подставляем в производную:

     $$\frac{dy}{dx} = 3(0)^2 - 3 = -3$$

     Знак производной отрицательный, значит функция убывает на интервале $(-1, 1)$.

   • Для $x > 1$ (например, $x = 2$): подставляем в производную:

     $$\frac{dy}{dx} = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$$

     Знак производной положительный, значит функция возрастает на интервале $(1, \infty)$.

Итог

• Функция $y = x^3 - 3x + 2$ возрастает на интервалах $(-\infty, -1)$