Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на одном из оснований трапеции. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен 3 см, а один из углов трапеции равен 120 градусов.

Так как около трапеции описана окружность, трапеция равнобедренная. Если центр окружности лежит на основании, то это основание является диаметром.

Радиус равен \(3\) см, значит основание-диаметр равно \(6\) см.

Пусть другое основание равно \(2x\), а высота трапеции равна \(h\). Угол \(120^\circ\) находится при меньшем основании, поэтому угол при большем основании равен \(60^\circ\).

Тогда:

\[\frac{h}{3-x}=\tan 60^\circ=\sqrt{3}\]

и по окружности:

\[x^2+h^2=3^2\]

Отсюда получается \(x=1{,}5\), значит меньшее основание равно \(3\) см, а высота:

\[h=\frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Площадь трапеции:

\[S=\frac{6+3}{2}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\]

Ответ: \(\frac{27\sqrt{3}}{4}\) см\(^2\).

0 0 Пожаловаться