Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 30

Ответы на вопрос

Отвечает Гордеев Виталий.

Для решения задачи по правильной треугольной пирамиде, начнем с анализа данных:

Апофема $a = 2$ см.
Угол наклона апофемы к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$ .

a) Высота пирамиды

Высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания, которое образует прямой угол с основанием. Мы знаем, что апофема наклонена к основанию под углом $30^\circ$ . Таким образом, высоту можно найти через апофему и угол наклона:

h = a \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.732 \, \text{см}.

Ответ: высота пирамиды $h \approx 1.732$ см.

b) Радиус окружности, вписанной в основание

Основание пирамиды является правильным треугольником. Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле для правильного треугольника, где радиус вписанной окружности $r$ равен:

r = \frac{S_{\text{осн}}}{P_{\text{осн}}}

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $P_{\text{осн}}$ — периметр основания. Площадь правильного треугольника и его периметр можно выразить через сторону основания $a_1$ . Площадь:

S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2

Периметр:

P_{\text{осн}} = 3a_1

Подставляя в формулу для радиуса вписанной окружности:

r = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2}{3a_1} = \frac{\sqrt{3}}{12} a_1.

Чтобы найти $a_1$ , используем апофему. Из треугольника, образованного высотой и апофемой, находим:

h = \frac{\sqrt{3}}{6} a_1 \quad \text{(высота правильного треугольника)}.

Мы уже знаем $h \approx 1.732$ см, подставляем в это уравнение:

1.732 = \frac{\sqrt{3}}{6} a_1

Решаем для $a_1$ :

a_1 = \frac{1.732 \cdot 6}{\sqrt{3}} = 6 \, \text{см}.

Теперь, подставляем найденную сторону основания в формулу для радиуса вписанной окружности:

r = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot 6 = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \, \text{см}.

Ответ: радиус окружности, вписанной в основание, $r \approx 0.866$ см.

c) Радиус окружности, описанной около основания

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен:

R = \frac{a_1}{\sqrt{3}}.

Подставляем найденную сторону основания $a_1 = 6$ :

R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \, \text{см}.

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос

a) Высота пирамиды

b) Радиус окружности, вписанной в основание

c) Радиус окружности, описанной около основания

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика