1) Найти вертикальные асимптоты x=a графика функции: а) f(x)=ln(1+ (-6)/(x-3)). б) f(x)=(4x^3+4x^2+4x)/(x^2-5x+6). В ответе укажите сумму всевозможных значений a. 2) Используя формулу Маклорена для f(x)= 9√(1+x) до 2-го порядка, вычислите приближенно 9√1,4. 3) Для функции f(x)=(4x+5)/(x-5)^3 найдите точку локального экстремума. 4) Для функции f(x)=(2x+6)/(x^2-5) найдите точки x=a локального минимума. В ответе укажите сумму всевозможных значений a. 5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной: а) прямой y=6x-4 и параболой y=x^2+5x-6 б) прямой y=-x+7 и параболой y=x^2-x+3 6) Найти производную функции: а) f(x,y)= (-5x-2y)/(x+3y) в точке A(-3;4) в направлении вектора e=(1,3) б) f(x,y)= (x-y)arctg(2x+y) в точке A(-1,2) в направлении вектора e=(-2,-5) 7) Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=x^2-y^2-4xy-10x-20y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума.

1) Вертикальные асимптоты.

а) \( f(x)=\ln\left(1+\frac{-6}{x-3}\right) \). Упростим: \( f(x)=\ln\frac{x-9}{x-3} \). Область определения: \( x9 \). Вертикальные асимптоты: \( x=3 \) (при \( x\to3^- \) \( f(x)\to+\infty \)) и \( x=9 \) (при \( x\to9^+ \) \( f(x)\to-\infty \)).

б) \( f(x)=\frac{4x^3+4x^2+4x}{x^2-5x+6} \). Знаменатель: \( (x-2)(x-3) \). Числитель в точках 2 и 3 не равен нулю. Вертикальные асимптоты: \( x=2 \) и \( x=3 \).

Сумма всех \( a \): \( 3+9+2+3=17 \).

2) Приближённое вычисление \( \sqrt[9]{1{,}4} \).

Функция \( f(x)=\sqrt[9]{1+x} \). Формула Маклорена до 2-го порядка: \( f(x)\approx 1+\frac{x}{9}-\frac{4}{81}x^2 \). При \( x=0{,}4 \): \( \sqrt[9]{1{,}4}\approx 1+\frac{0{,}4}{9}-\frac{4}{81}\cdot0{,}16 = 1+\frac{2}{45}-\frac{16}{2025}=\frac{2099}{2025}\approx1{,}0365 \).

3) Локальный экстремум \( f(x)=\frac{4x+5}{(x-5)^3} \).

Производная: \( f'(x)=\frac{-8x-35}{(x-5)^4} \). Критическая точка: \( x=-\frac{35}{8} \). При переходе через неё производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума.

4) Локальный минимум \( f(x)=\frac{2x+6}{x^2-5} \).

Производная: \( f'(x)=\frac{-2(x+1)(x+5)}{(x^2-5)^2} \). Критические точки: \( x=-5 \) и \( x=-1 \). Знаки производной: при \( x

0 0 Пожаловаться