Вычислите интеграл. интеграл от 8 до 27 dx/3 корня квадратных из икс

Нужно вычислить:

\[ \int_8^{27} \frac{dx}{3\sqrt{x}} \]

Вынесем число \( \frac{1}{3} \):

\[ \frac{1}{3}\int_8^{27} x^{-\frac{1}{2}}\,dx \]

Первообразная:

\[ \int x^{-\frac{1}{2}}\,dx = 2\sqrt{x} \]

Тогда:

\[ \frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{x}\Big|_8^{27}=\frac{2}{3}(\sqrt{27}-\sqrt{8}) \]

Упростим:

\[ \frac{2}{3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})=2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{2}}{3} \]

Ответ: \( 2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{2}}{3} \).

0 0 Пожаловаться