В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О (см. рисунок). Найдите расстояние от точки О до точки А, если AB = 14, BC = 13 и AC = 15.

Даны стороны треугольника: \(AB=14\), \(BC=13\), \(AC=15\). Точка \(O\) — центр вписанной окружности, значит она лежит на биссектрисе угла \(A\).

Полупериметр:

\[s=\frac{14+13+15}{2}=21\]

Площадь по формуле Герона:

\[S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\]

Радиус вписанной окружности:

\[r=\frac{S}{s}=\frac{84}{21}=4\]

Найдём угол \(A\):

\[\cos A=\frac{14^2+15^2-13^2}{2\cdot14\cdot15}=\frac{3}{5}\]

Тогда:

\[\sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt5}\]

Так как \(r=AO\cdot \sin\frac{A}{2}\), получаем:

\[AO=\frac{4}{1/\sqrt5}=4\sqrt5\]

Ответ: \(4\sqrt5\).

0 0 Пожаловаться