1) Найти общий член соответствующего степенного ряда

∞
∑ Un (x).
n=1

Найти интервал сходимости этого ряда и исследовать его поведение ряда на концах интервала сходимости. Найти значение суммы ряда в точке x₀ точностью до 0.001, выписав соответствующее число слагаемых и сославшись на теорему Лейбница.

[tex] \frac{x-2}{3} +\frac{3(x-2)^2}{3^2} +\frac{5(x-2)^3}{3^3}+....... , [/tex] x₀ = 1.5

2) Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

[tex] \int\limits^1_0 {x} \, dx [/tex]

x=e^((-2x)^6))

Разберу обе части по отдельности: для первого ряда найду общий член, радиус и концы сходимости, а для второго аккуратно восстановлю подынтегральную функцию по записи и посчитаю с нужной точностью.

1. Рассмотрим ряд

Его общий член:

Для исследования сходимости применим признак Д’Аламбера:

Следовательно, ряд сходится при

то есть на интервале

Проверим концы:

• при $x=-1$:

общий член не стремится к нулю, значит ряд расходится;

• при $x=5$:

общий член тоже не стремится к нулю, значит ряд расходится.

Итак, интервал сходимости:

Теперь точка $x_0=1.5$. Тогда

и ряд принимает вид

Это знакочередующийся ряд, причём $|u_n|$ убывают и $\to 0$, значит можно применить теорему Лейбница: остаток после $N$ членов по модулю меньше следующего члена.

Возьмём 6 первых членов:

Численно:

Следующий член:

значит по теореме Лейбница