Составить уравнение высоты, проведенной через вершину A треугольника ABC, зная уравнение его сторон:
AB 2x-y-3=0
BC 3x-2y+13=0
AC x+5y-7=0

Буду очень благодарен за развернутый с Формулами, по мере возможного, ответ, так как преподаватель будет выбивать все формулы и их значение. спасибо

Нужно составить уравнение высоты, проведённой из вершины $A$ треугольника $ABC$.

Даны уравнения сторон:

Высота из вершины $A$ — это прямая, которая:

1. проходит через точку $A$;

2. перпендикулярна стороне $BC$.

1. Найдём координаты вершины $A$

Вершина $A$ лежит на пересечении сторон $AB$ и $AC$, поэтому нужно решить систему:

Из первого уравнения выразим $y$:

Подставим это во второе уравнение:

Раскрываем скобки:

Теперь найдём $y$:

Значит,

2. Найдём угловой коэффициент стороны $BC$

Сторона $BC$ задана уравнением:

Общее уравнение прямой имеет вид:

Если прямая задана в таком виде, то её угловой коэффициент находится по формуле:

Для прямой $BC$:

Следовательно,

То есть угловой коэффициент стороны $BC$:

3. Найдём угловой коэффициент высоты

Высота из вершины $A$ перпендикулярна стороне $BC$.

Если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны формулой:

Пусть угловой коэффициент высоты равен $k_h$. Тогда:

Подставляем значение $k_{BC}$:

Отсюда:

Значит, угловой коэффициент высоты:

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку $A(2;1)$

Формула уравнения прямой, проходящей через точку $(x_0;y_0)$