Идёт посадка в 100-местный самолёт. В очередь выстроились 100 пассажиров. Первой стоит сумасшедшая старушка. Зайдя в салон, она садится на любое случайно выбранное место. Остальные пассажиры — нормальные люди: каждый из них, зайдя в салон, садится на своё (обозначенное в билете) место, если оно свободно, и на любое из свободных — в противном случае. Какова вероятность, что последний в очереди пассажир сядет на своё место? Дайте развёрнутый ответ с объяснением.

Вероятность того, что последний пассажир сядет на своё место, равна

Обозначим место старушки как место №1, а место последнего пассажира — №100.

Старушка садится на случайное место. Возможны три типа ситуаций:

1. Она села на своё место №1.
   Тогда все остальные спокойно занимают свои места, и последний пассажир точно сядет на место №100.

2. Она села на место №100.
   Тогда последний пассажир, когда зайдёт, обнаружит своё место занятым и будет вынужден сесть куда-то ещё. В этом случае он точно не попадёт на своё место.

3. Она села на какое-то промежуточное место, например №37.
   Пассажиры со 2-го по 36-й займут свои места без проблем. Затем пассажир №37 увидит, что его место занято. Он выберет случайное свободное место.

   Среди свободных мест обязательно будет место №1 — то, которое старушка не заняла. Также свободным останется место №100, пока его не занял кто-то из «сбитых с места» пассажиров.

   Если пассажир №37 выберет место №1, то путаница закончится: все следующие пассажиры смогут сесть по билетам, включая последнего.

   Если он выберет место №100, то последний пассажир останется без своего места.

   Если он выберет ещё одно промежуточное место, например №62, то теперь «сбитым с места» станет пассажир №62. Ситуация полностью повторится.

Таким образом, путаница передаётся от одного пассажира к другому, пока кто-то не выберет одно из двух особых мест:

• место №1 — тогда последний пассажир получит место №100;

• место №100 — тогда последний пассажир его не получит.

Эти два места в конечном счёте равноправны: процесс заканчивается выбором одного из них, и ни одно не имеет преимущества перед другим. Поэтому вероятность того, что первым будет выбрано место №1, равна вероятности того, что первым будет выбрано место №100.

Следовательно,

Итак, ответ: 50%.