В конус вписана правильная треугольная пирамида, двугранный угол которой при ребре основания равен...

Условие задачи приведено не полностью: после слов «двугранный угол которой при ребре основания равен…» отсутствует значение угла, а также не указано, какую величину требуется найти.

Можно записать общую зависимость. Обозначим:

• $R$ — радиус основания конуса;

• $H$ — высоту конуса и вписанной пирамиды;

• $\alpha$ — двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Пусть $M$ — середина ребра основания пирамиды, $O$ — центр основания, $S$ — вершина конуса. В сечении плоскостью $SOM$ двугранный угол равен $\angle SMO=\alpha$.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Расстояние от его центра до стороны равно радиусу вписанной окружности:

В прямоугольном треугольнике $SOM$:

Следовательно,

или

Например, при $\alpha=60^\circ$:

Без продолжения условия однозначно определить окончательный ответ невозможно.