От треугольной призмы, объем которой равен 15, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Рассмотрим треугольную призму с основаниями $ABC$ и $A'B'C'$, где вершины $A',B',C'$ находятся соответственно над $A,B,C$ (то есть боковые рёбра $AA', BB', CC'$ параллельны и равны).

Плоскость проходит через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Пусть она проходит через сторону $AB$ нижнего основания $ABC$ и через противоположную ей вершину верхнего основания, то есть через точку $C'$. Тогда эта плоскость однозначно задаётся тремя точками $A, B, C'$, то есть это плоскость $(ABC')$.

Посмотрим, какую часть призмы она “отсекает”.

1) Какая пирамида отсекается

Точки $A, B, C, C'$ образуют тетраэдр (треугольную пирамиду) $ABCC'$:

• грань $ABC$ — это часть (и на самом деле целиком) нижнего основания призмы;

• грани $ACC'$ и $BCC'$ лежат на боковых гранях призмы (это треугольники внутри соответствующих параллелограммов);

• грань $ABC'$ как раз является сечением плоскостью $(ABC')$.

Значит, одним из получившихся тел действительно будет треугольная пирамида $ABCC'$.

2) Объём этой пирамиды

Возьмём основание пирамиды $ABCC'$ как треугольник $ABC$, лежащий в плоскости нижнего основания призмы.

Высота пирамиды из вершины $C'$ к плоскости $ABC$ равна высоте призмы, потому что $C'$ находится прямо над точкой $C$, а плоскости оснований параллельны. Обозначим высоту призмы через $h$, а площадь треугольника основания через $S$. Тогда:

• объём призмы: $\;V_{\text{пр}} = S \cdot h$;

• объём пирамиды $ABCC'$: $\;V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3} S \cdot h$.

Следовательно,

По условию $V_{\text{пр}} = 15$, значит

3) Объём оставшейся части

Оставшийся объём:

Ответ: $10$.