Найдите наибольшее значение площади равнобедренного треугольника с периметром, равным 2.

Пусть равнобедренный треугольник имеет боковые стороны $a$ и $a$, а основание — $b$. По условию периметр равен 2:

Площадь равнобедренного треугольника можно выразить через высоту. Высота, проведённая к основанию, делит его пополам, поэтому:

Тогда площадь:

Так как $b=2-2a$, можно рассмотреть площадь как функцию одной переменной. Однако известно, что среди всех треугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому именно он даст максимум.

При периметре 2 сторона равностороннего треугольника равна:

Его площадь:

Подставляем:

Следовательно, наибольшее значение площади равнобедренного треугольника с периметром 2 равно

и достигается тогда, когда треугольник становится равносторонним со стороной $\frac23$.