5.20 мордкович, 2022
Пусть f(x) = x+1/Ix^2-3x+2|
решите неравенство
a) f(x) > 0;
б) f(x) >= 0;
B) f(x) < 0;
г) f(x) ≤ 0.
помогите, пожалуйста

Дана функция

Нужно решить несколько неравенств с этой функцией.

Сначала разберём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

Разложим квадратный трёхчлен:

Поэтому

То есть

Теперь самое важное: поскольку в знаменателе стоит модуль, то при всех допустимых $x$

Значит, знак всей дроби определяется только числителем $x+1$.

Числитель обращается в ноль при

то есть

Получаем:

• если $x<-1$, то $x+1<0$, следовательно $f(x)<0$;

• если $x=-1$, то $f(x)=0$;

• если $x>-1$, то $x+1>0$, следовательно $f(x)>0$, но $x=1$ и $x=2$ обязательно исключаем.

а) $f(x)>0$

Нужно

откуда

Но $x=1$ и $x=2$ не входят в область определения.

Ответ:

б) $f(x)\ge 0$

Теперь точку $x=-1$, где дробь равна нулю, включаем:

Снова исключаем $1$ и $2$.

Ответ:

в) $f(x)<0$

Дробь отрицательна, когда числитель отрицателен:

Ответ:

г) $f(x)\le 0$

Нужно

поэтому

Ответ:

Итого:

Главная идея задания: знаменатель под модулем всегда положительный, кроме точек, где он равен нулю. Поэтому знак $f(x)$ зависит только от $x+1$.