Решите задачу: семь гномов сидят у костра. Известно, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому ростов двух гномов, сидящих рядом с ним. Докажите, что все гномы одного роста.

Обозначим рост семи гномов по кругу через

причём после седьмого снова идёт первый.

По условию рост каждого гнома равен среднему арифметическому ростов двух его соседей. Значит, для каждого $i$

Умножим это равенство на 2:

Перенесём слагаемые:

Получается, что разность ростов любых двух соседних гномов одинакова. Обозначим эту разность через $d$. Тогда, двигаясь по кругу, имеем

и так далее,

Но первый гном также сидит рядом с седьмым, поэтому при следующем шаге мы должны снова получить рост первого гнома:

Следовательно,

откуда

Значит, рост соседних гномов не отличается:

Таким образом, все семь гномов одного роста.