Что такое натуральные, рациональные и целые числа?

Натуральные, целые и рациональные числа — это основные множества чисел, которые изучают в математике. Они отличаются друг от друга тем, какие числа в них входят и какие математические действия с ними можно выполнять.

Чтобы понять разницу между ними, рассмотрим каждое множество отдельно.

1. Натуральные числа

Натуральные числа — это числа, которые используются для счёта предметов и обозначения их количества.

Например, если у нас есть 5 яблок, 12 книг или 30 учеников, то числа 5, 12 и 30 являются натуральными.

Натуральные числа записываются следующим образом:

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N:

Основные свойства натуральных чисел:

• Натуральные числа являются положительными целыми числами.

• Они не содержат дробной части.

• Каждое натуральное число имеет следующее за ним натуральное число.

• Натуральных чисел бесконечно много.

• При сложении и умножении двух натуральных чисел всегда получается натуральное число.

• При вычитании и делении результат не всегда является натуральным числом.

Например:

• $5+3=8$ — результат натуральный.

• $4\cdot 3=12$ — результат натуральный.

• $5-8=-3$ — результат не является натуральным.

• $5:2=2{,}5$ — результат не является натуральным.

Важно: в школьной математике России натуральные числа обычно начинаются с единицы. Однако в некоторых разделах математики и информатики число 0 также включают в множество натуральных чисел.

2. Целые числа

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль.

Другими словами, целые числа могут быть положительными, отрицательными или равными нулю, но не имеют дробной части.

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z:

Целые числа можно разделить на три группы:

1. Положительные целые числа: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.

2. Отрицательные целые числа: −1, −2, −3, −4, −5 и так далее.

3. Ноль: 0, который не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Например, целые числа используются для обозначения температуры воздуха, высоты относительно уровня моря, финансовой задолженности и других величин.

Если температура воздуха составляет −10 °C, то число −10 является целым. Если на банковском счёте имеется задолженность 500 рублей, её можно условно обозначить числом −500.

Основные свойства целых чисел:

• Включают все натуральные числа.

• Содержат отрицательные числа и ноль.

• Не имеют дробной части.

• При сложении, вычитании и умножении двух целых чисел результат всегда является целым числом.

• При делении двух целых чисел результат не обязательно будет целым.

Например:

Число −5 является целым, но не натуральным.

Число −12 также является целым.

Однако:

Число 3,5 не является целым, поскольку содержит дробную часть.

3. Рациональные числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби:

где:

• $a$ — любое целое число;

• $b$ — любое целое число, кроме нуля.

Таким образом, рациональным является любое число, которое можно записать как отношение двух целых чисел.

Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q:

К рациональным числам относятся:

• Натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и другие.

• Отрицательные целые числа: −1, −2, −3 и другие.

• Ноль.

• Обыкновенные дроби: $\frac12,\frac34,-\frac57$