Натуральные числа A и B делятся на все натуральные числа от 1 до 65. На какое наименьшее натуральное число может не делиться число A + B?

Ответ: 67.

Решение:

По условию натуральные числа $A$ и $B$ делятся на все натуральные числа от 1 до 65 включительно.

Это означает, что для любого натурального числа $n$, где $1\leq n\leq65$, выполняется:

Тогда и сумма этих чисел обязательно делится на $n$, поскольку сумма двух чисел, кратных одному и тому же числу, также кратна ему.

Следовательно, число $A+B$ делится на все натуральные числа от 1 до 65.

Рассмотрим следующее число — 66.

Разложим его на простые множители:

По условию и $A$, и $B$ делятся на 2, 3 и 11. Причём эти числа попарно взаимно просты, поэтому каждое из чисел $A$ и $B$ делится на их произведение:

Значит, сумма $A+B$ также обязательно делится на 66.

Теперь рассмотрим число 67.

67 — простое число, которое больше 65. Среди натуральных чисел от 1 до 65 нет ни одного числа, кратного 67.

Поэтому из условия задачи не следует, что числа $A$ и $B$ должны делиться на 67.

Более того, можно выбрать:

Такие числа удовлетворяют условию задачи, поскольку делятся на все натуральные числа от 1 до 65.

При этом их сумма равна:

Поскольку 67 — простое число и не входит в разложение на простые множители ни одного из чисел от 1 до 65, их наименьшее общее кратное не делится на 67. Умножение на 2 этого не меняет.

Следовательно, сумма $A+B$ может не делиться на 67.

Таким образом:

• На все числа от 1 до 65 сумма делится обязательно.

• На 66 сумма также обязательно делится.

• На 67 сумма уже может не делиться.

Ответ: $\boxed{67}$.