Основное свойство алгебраической дроби. Урок 1

Основное свойство алгебраической дроби заключается в том, что значение дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение.

Это свойство позволяет сокращать алгебраические дроби, упрощать их и приводить к общему знаменателю.

1. Что такое алгебраическая дробь?

Алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями.

Например:

В алгебраической дроби выражение над чертой называется числителем, а выражение под чертой — знаменателем.

Важно помнить: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поскольку на ноль делить нельзя.

Например, в дроби

знаменатель равен $x-3$. Поэтому $x\neq 3$.

2. Формулировка основного свойства

Основное свойство алгебраической дроби записывается так:

где $B\neq 0$ и $C\neq 0$.

Это означает, что если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же ненулевое выражение, то значение дроби не изменится.

Аналогично, если числитель и знаменатель имеют общий множитель, на который можно разделить оба выражения, дробь можно сократить:

При этом сокращение допустимо только при условии, что общий множитель не равен нулю.

3. Примеры применения основного свойства

Пример 1. Умножение числителя и знаменателя на одно число

Дана дробь:

Умножим числитель и знаменатель на $2$:

Получили другую запись той же дроби. Её значение не изменилось при $x\neq -1$.

Пример 2. Сокращение алгебраической дроби

Упростим дробь:

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $3x$. Разделим оба на него:

Ответ:

Обратите внимание: при $x=0$ исходная дробь не определена, поэтому это ограничение необходимо сохранить.

Пример 3. Сокращение дроби с многочленами

Упростим выражение:

Сначала разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов:

Подставим полученное выражение в дробь: