1. На доске написано одно трёхзначное число и два двузначных. Сумма чисел, в записи которых есть семёрка, равна 208. А сумма чисел, в записи которых есть тройка, равна 76. Найдите сумму всех трёх чисел.
2. Вася хочет расставить в квадратики числа от 1 до 6 (каждое — по одному разу) так, чтобы выполнялось следующее условие: если два квадратика соединены, то в том, который выше, число больше. Сколько существует способов это сделать?
3. В стране 100 городов: 30 из них находятся в горной части страны, а 70 — в равнинной. В течение трёх лет между городами устанавливали авиасообщение. Каждый год в стране открывалось 50 новых авиарейсов: все города случайным образом разбивались на 50 пар, и между городами из одной пары открывался рейс. Через три года оказалось, что из 150 открытых рейсов ровно 23 соединяют пару «горных» городов. Сколько рейсов соединяют пару «равнинных» городов?

Задача 1. Найдите сумму трёх чисел

Условие: На доске написано одно трёхзначное число и два двузначных. Сумма чисел, содержащих цифру 7, равна 208, а сумма чисел, содержащих цифру 3, равна 76. Нужно найти сумму всех трёх чисел.

Решение:

Обозначим трёхзначное число через $A$, а два двузначных — через $B$ и $C$.

Шаг 1. Определим числа, содержащие цифру 3.

По условию их сумма равна 76.

Трёхзначное число не может содержать цифру 3, поскольку оно больше 99, а сумма всех чисел с тройкой составляет только 76.

Следовательно, цифру 3 содержат оба двузначных числа:

Только одно число давать эту сумму не может, поскольку в числе 76 нет цифры 3.

Шаг 2. Определим числа, содержащие цифру 7.

Их сумма равна 208.

Трёхзначное число обязательно должно содержать цифру 7. При этом оно не может быть единственным числом с семёркой, ведь в числе 208 нет цифры 7.

Значит, семёрка содержится в трёхзначном числе и хотя бы в одном двузначном.

Оба двузначных числа одновременно содержать семёрку не могут. Иначе трёхзначное число было бы равно:

а в числе 132 нет семёрки.

Шаг 3. Найдём двузначное число с семёркой.

Мы установили, что оба двузначных числа содержат цифру 3, а одно из них содержит также цифру 7.

Таких двузначных чисел всего два: 37 и 73.

Проверим число 73:

Но число 3 однозначное, поэтому этот вариант не подходит.

Следовательно, одно из двузначных чисел равно 37, а второе:

Шаг 4. Найдём трёхзначное число.

Поскольку сумма чисел с семёркой равна 208:

Отсюда:

Все три числа найдены: 171, 37 и 39.

Их общая сумма:

Ответ: 247.

Задача 2. Сколько существует способов расставить числа от 1 до 6?

Условие: Нужно расставить числа от 1 до 6 в шесть соединённых квадратиков так, чтобы в каждом из двух соединённых квадратиков верхнее число было больше нижнего.

Решение:

В исходной задаче квадратики расположены следующим образом: четыре квадратика образуют одну цепочку, а два других — вторую. Цепочки дополнительно соединены между собой.

Обозначим два квадратика второй цепочки буквами $M$ (верхний) и $A$ (нижний). Квадратик $A$ соединён с квадратиком $B$ из первой цепочки, причём $B$ расположен выше $A$.

Получаем следующие условия:

• В цепочке из четырёх квадратиков числа должны строго убывать сверху вниз.

• В квадратике $M$ число больше, чем в $A$.

• В квадратике $B$ число больше, чем в $A$.

Шаг 1. Рассмотрим цепочку из четырёх квадратиков.

Если выбрать четыре числа для этой цепочки, порядок их расположения определяется однозначно: самое большое наверху, затем остальные по убыванию.

Поэтому достаточно выбрать числа для квадратиков $M$ и $A$. Оставшиеся четыре числа автоматически займут места в длинной цепочке.

Однако необходимо соблюдать условие: число в $A$ должно быть меньше числа в $B$.

Шаг 2. Рассмотрим возможные числа в квадратике $M$.

1. Если $M=6$, то в квадратике $A$ могут стоять числа 1, 2 или 3. Получаем 3 способа.

2. Если $M=5$, то в $A$ также могут стоять числа 1, 2 или 3. Получаем 3 способа.

3. Если $M=4$, то в $A$ могут стоять числа 1, 2 или 3. Получаем 3 способа.

4. Если $M=3$, то в $A$ могут стоять только числа 1 или 2. Получаем 2 способа.

5. Если $M=2$