Конечная геометрическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. Произведение членов этой прогрессии является делителем числа 19600. Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов? Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов? Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?

Прогрессия из 3 членов может существовать.

Например: \(1,\ 2,\ 4\). Это геометрическая прогрессия, её произведение равно \(8\), а \(8\) — делитель числа \(19600\).

Прогрессия из 5 членов существовать не может.

Произведение пяти членов геометрической прогрессии равно пятой степени её среднего члена. В разложении числа \(19600=2^4\cdot5^2\cdot7^2\) нет простого множителя в пятой степени, поэтому средний член мог бы быть только равен \(1\). Но тогда пять различных натуральных членов получить нельзя.

Прогрессия из 4 членов существовать не может.

Для четырёх различных членов с ненулевым знаменателем произведение содержит множитель, возведённый как минимум в шестую степень. Однако в разложении \(19600=2^4\cdot5^2\cdot7^2\) наибольшая степень простого множителя равна \(4\). Поэтому такое произведение не может быть делителем \(19600\).

Ответ: из 3 членов — да; из 5 членов — нет; из 4 членов — нет.

0 0 Пожаловаться