Бесконечная арифметическая прогрессия а1 , а2 , ....., аn, .... состоит из различных натуральных чисел. Пусть S1 = a1, Sn= a1 + a2 + ..... + an при всех натуральных n≥2. a) Существует ли такая прогрессия, для которой S10 = 100S1 ? б) Существует ли такая прогрессия, для которой S10 = 50S2 ? с) Какое наименьшее значение может принимать дробь S5^2/S1 * S10 ?

Рассмотрим задачу по частям.

a) Существует ли такая прогрессия, для которой $S_{10} = 100 S_1$?

Пусть дана арифметическая прогрессия с первым элементом $a_1$, разностью $d$, и общим $n$-м элементом прогрессии, равным $a_n = a_1 + (n-1) d$. Тогда сумма первых $n$ элементов прогрессии выражается через формулу:

Для $n = 10$, получаем:

А для $S_1$:

Задача ставит условие, что $S_{10} = 100 S_1$, то есть:

Упростим это уравнение:

Таким образом, разность прогрессии должна быть в два раза больше первого элемента. Это возможно, поскольку разность $d$ может быть выражена через $a_1$, и прогрессия будет состоять из различных натуральных чисел. Ответ на часть (a): Да, такая прогрессия существует.

б) Существует ли такая прогрессия, для которой $S_{10} = 50 S_2$?

Теперь рассмотрим условие $S_{10} = 50 S_2$. Сначала выразим $S_2$:

Условие задачи:

Подставим выражения для $S_{10}$ и $S_2$:

Упростим это уравнение:

Поскольку $d$ отрицательно, это противоречит условию, что элементы прогрессии должны быть различными натуральными числами. Таким образом, такая прогрессия не существует. Ответ на часть (б): Нет, такая прогрессия не существует.

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{S_5^2}{S_1 \cdot S_{10}}$?

Теперь найдём наименьшее значение дроби $\frac{S_5^2}{S_1 \cdot S_{10}}$