Решить методом математической индукции:
1+2+2²+...+2^(n-1) = 2^n - 1

Докажем равенство методом математической индукции:

\[1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}=2^n-1.\]

1. База индукции. При \(n=1\):

\[1=2^1-1=1.\]

Равенство верно.

2. Индукционное предположение. Предположим, что для некоторого \(k\) верно:

\[1+2+2^2+\ldots+2^{k-1}=2^k-1.\]

3. Индукционный переход. Прибавим к обеим частям равенства \(2^k\):

\[1+2+2^2+\ldots+2^{k-1}+2^k=2^k-1+2^k=2^{k+1}-1.\]

Значит, равенство верно и для \(k+1\). Следовательно, по принципу математической индукции оно верно для любого натурального \(n\).

0 0 Пожаловаться