Каковы должны быть размеры (измерения) прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, чтобы он имел наибольшую полную поверхность, если сумма длин всех его рёбер равна 256 см?

Пусть сторона квадратного основания равна \(a\) см, а высота — \(h\) см.

У параллелепипеда 8 рёбер длины \(a\) и 4 ребра длины \(h\), поэтому:

\[8a+4h=256\]

\[h=64-2a\]

Полная поверхность:

\[S=2a^2+4ah\]

Подставим \(h=64-2a\):

\[S=2a^2+4a(64-2a)=256a-6a^2\]

Наибольшее значение получается при \(a=\frac{64}{3}\) см. Тогда:

\[h=64-2\cdot\frac{64}{3}=\frac{64}{3}\text{ см}\]

Ответ: длина, ширина и высота должны быть равны \(\frac{64}{3}\) см, то есть примерно \(21{,}3\) см. Это куб.

0 0 Пожаловаться