Используя векторы, докажите, что средняя линия: а) треугольника равна половине основания.

Пусть в треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Тогда

\[\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AB}, \qquad \vec{AN}=\frac{1}{2}\vec{AC}.\]

Найдём вектор средней линии:

\[\vec{MN}=\vec{AN}-\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}=\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB}).\]

Но \(\vec{AC}-\vec{AB}=\vec{BC}\), поэтому

\[\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{BC}.\]

Значит, \(MN\) параллельна \(BC\), а её длина равна половине длины основания:

\[MN=\frac{1}{2}BC.\]

0 0 Пожаловаться