Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x=y^2-2y и x+y=0 с помощью двойного интеграла.

Точки пересечения найдём из равенства:

\[y^2-2y=-y\]

\[y^2-y=0,\qquad y=0\ \text{или}\ y=1.\]

При \(0\le y\le1\) левая граница: \(x=y^2-2y\), правая граница: \(x=-y\).

\[S=\int_0^1\int_{y^2-2y}^{-y}dx\,dy\]

\[S=\int_0^1(y-y^2)dy=\left(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right)_0^1=\frac16.\]

Ответ: \(\frac16\) квадратных единиц.

0 0 Пожаловаться