1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертёж области интегрирования. [tex]\int\limits^2_1\, dy\int\limits^y_{1\/y} {f(x,y)} \, dx[\/tex]


2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями:

[tex]\int\limits\int\limits {(x^3-2y)} \, dxdy[\/tex] ; [tex]y=x^{2}-1[\/tex] , [tex]x\geq 0[\/tex] , [tex]y\leq 0[\/tex].


3. С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями: xy=4 , x+y-5=0

1. Изменение порядка интегрирования.

Область интегрирования: \(1 \le y \le 2\), \(1/y \le x \le y\). Границы: \(x = y\), \(x = 1/y\), \(y = 1\), \(y = 2\). После изменения порядка: \(x\) меняется от \(1/2\) до \(2\), а область разбивается на две части:

\[ \int_{1/2}^{1} dx \int_{1/x}^{2} f(x,y)\,dy + \int_{1}^{2} dx \int_{x}^{2} f(x,y)\,dy. \]

Чертёж: область ограничена линиями \(y=x\), \(y=1/x\), \(y=2\); левая граница — точка \((1/2,2)\), нижняя — \((1,1)\).

2. Вычисление двойного интеграла.

Область \(D\): \(0 \le x \le 1\), \(x^2-1 \le y \le 0\).

\[ \iint_D (x^3-2y)\,dxdy = \int_0^1 dx \int_{x^2-1}^0 (x^3-2y)\,dy. \]

Внутренний интеграл: \(\left[ x^3y - y^2 \right]_{y=x^2-1}^0 = -x^5 + x^4 + x^3 - 2x^2 + 1\).

\[ \int_0^1 (-x^5 + x^4 + x^3 - 2x^2 + 1)\,dx = \left[ -\frac{x^6}{6} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 = -\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{37}{60}. \]

3. Площадь фигуры.

Линии: \(xy=4\) и \(x+y-5=0\). Точки пересечения: \((1,4)\) и \((4,1)\).

\[ S = \int_1^4 \left( (5-x) - \frac{4}{x} \right) dx = \int_1^4 \left( 5 - x - \frac{4}{x} \right) dx = \left[ 5x - \frac{x^2}{2} - 4\ln|x| \right]_1^4 = (20 - 8 - 4\ln 4) - \left(5 - \frac{1}{2} - 0\right) = 12 - 4\ln 4 - 4.5 = \frac{15}{2} - 8\ln 2. \]

Отправить ответ