Вопрос задан 30.06.2026 в 22:51. Предмет Математика. Спрашивает Лис Саша.

Вычислить интеграл:
[tex]\displaystyle\int\limits^{\dfrac\pi4}_{-\dfrac\pi4}\dfrac{dx}{1+sin\,x}[/tex]

0 0 Пожаловаться
Перейти к ответам
Отвечу на вопрос мгновенно! Нейросеть ChatGPT. Жми!

Ответы на вопрос

Отвечает Мельников Вова.

I=∫−π4π4dx1+sin⁡x.I=\int\limits_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\frac{dx}{1+\sin x}.

Умножим числитель и знаменатель на 1−sin⁡x1-\sin x:

11+sin⁡x=1−sin⁡x1−sin⁡2x=1−sin⁡xcos⁡2x.\frac{1}{1+\sin x} =\frac{1-\sin x}{1-\sin^2x} =\frac{1-\sin x}{\cos^2x}.

Тогда

I=∫−π4π4(1cos⁡2x−sin⁡xcos⁡2x)dx.I=\int\limits_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4} \left(\frac1{\cos^2x}-\frac{\sin x}{\cos^2x}\right)dx.

Заметим, что

1cos⁡2x=sec⁡2x,sin⁡xcos⁡2x=tan⁡xsec⁡x.\frac1{\cos^2x}=\sec^2x,\qquad \frac{\sin x}{\cos^2x}=\tan x\sec x.

Следовательно,

∫dx1+sin⁡x=tan⁡x−sec⁡x+C.\int \frac{dx}{1+\sin x} =\tan x-\sec x+C.

Подставляем пределы:

I=(tan⁡x−sec⁡x)∣−π4π4.I=\left(\tan x-\sec x\right)\Bigg|_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}.

При x=π4x=\frac\pi4:

tan⁡π4−sec⁡π4=1−2.\tan\frac\pi4-\sec\frac\pi4=1-\sqrt2.

При x=−π4x=-\frac\pi4:

tan⁡(−π4)−sec⁡(−π4)=−1−2.\tan\left(-\frac\pi4\right)-\sec\left(-\frac\pi4\right) =-1-\sqrt2.

Поэтому

I=(1−2)−(−1−2)=2.I=(1-\sqrt2)-(-1-\sqrt2)=2. 2\boxed{2}

0 0 Пожаловаться
Спроси у Chat GPT бесплатно без регистрации!

Похожие вопросы

Математика 02.05.2026 17:08 14 Хлебникова Милана
Математика 12.01.2026 12:26 50 Татаринов Даниил
Математика 19.06.2026 10:39 17 Шумкова Аня
Математика 13.07.2025 21:02 202 Лесников Илья
Математика 27.09.2025 11:37 17 Алексеева Катя
Математика 05.07.2025 19:24 13 Эмер Вика
Математика 10.08.2025 08:18 21 Воронцов Никита
Математика 04.12.2025 20:36 15 Айтбай Ева
Математика 07.02.2026 08:43 13 Ракович Иван
Математика 13.04.2026 17:42 20 Назаров Олег

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Математика 22.12.2023 10:20 2114 Пряничников Александр
Математика 26.12.2023 03:34 2289 Davlatov Alimjan
Математика 07.01.2024 12:51 1594 Киреев Кирилл
Математика 02.12.2024 12:45 154 Лысенко Анастасия
Математика 18.09.2025 03:59 126 Лескова Дарья
Математика 30.09.2026 16:29 21 Баранова Екатерина
Математика 16.04.2025 23:52 147 Смыслов Илья
Математика 17.03.2025 06:06 131 Курлович Алинка
Математика 21.03.2026 15:16 29 Мадьярова Айгерим
Математика 31.12.2024 16:10 1068 Банная Настена

Последние заданные вопросы в категории Математика

Математика 24.09.2026 23:19 34 Дульцева Ева
Математика 24.09.2026 23:17 29 Николаева Дарья
Математика 24.09.2026 23:17 12 Ivanets Vika
Математика 24.09.2026 22:49 12 Петрук Артём
Математика 24.09.2026 22:16 13 Хисматова Алсу
Математика 24.09.2026 22:16 23 Вахитов Ильдар
Математика 24.09.2026 22:15 11 Богданов Иван
Математика 24.09.2026 21:35 20 Лагойко Даша
Математика 24.09.2026 21:22 14 Плахута Ира
Математика 24.09.2026 21:27 20 Пушкарева Настя
< Предыдущий Следующий >
Предметы
Задать вопрос
Задать вопрос