При каком значении переменной $d$ угол между векторами $m$ и $n$ равен 45°, если $m = (1; 4)$ и $n = (d; 3)$?

Чтобы найти значение переменной $d$, при котором угол между векторами $\mathbf{m} = \{1, 4\}$ и $\mathbf{n} = \{d, 3\}$ равен 45 градусов, нужно использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

где:

• $\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}$ — скалярное произведение векторов,
• $|\mathbf{m}|$ и $|\mathbf{n}|$ — их длины,
• $\theta$ — угол между векторами.

Шаг 1: Вычислим скалярное произведение $\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}$

Скалярное произведение двух векторов $\mathbf{m} = \{1, 4\}$ и $\mathbf{n} = \{d, 3\}$ вычисляется по формуле:

Шаг 2: Найдем длины векторов $|\mathbf{m}|$ и $|\mathbf{n}|$

Длина вектора $\mathbf{m} = \{1, 4\}$ равна:

Длина вектора $\mathbf{n} = \{d, 3\}$ равна:

Шаг 3: Используем условие, что угол между векторами равен 45 градусов

Для угла $\theta = 45^\circ$, косинус этого угла равен $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставляем это значение в формулу для косинуса угла между векторами:

Шаг 4: Решаем уравнение

1. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{17} \cdot \sqrt{d^2 + 9}$:

2. Умножим обе части на $\sqrt{2}$, чтобы избавиться от знаменателя:

3. Квадратируем обе стороны уравнения:

4. Раскрываем скобки: