1/(х-2)^2 - 1/(х-2) - 6 =0 срочно на зачёт надо, пожалуйста. Ответ: 3/2 ; 7/3

Для того чтобы решить уравнение $\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0$, давайте пошагово разберём его.

1. Введем замену: Пусть $y = x - 2$. Таким образом, уравнение примет вид:

   $$\frac{1}{y^2} - \frac{1}{y} - 6 = 0$$

   Это упростит работу, так как теперь выражения зависят только от $y$.

2. Приведем уравнение к общему знаменателю: Умножим все члены уравнения на $y^2$ (при условии, что $y \neq 0$), чтобы избавиться от дробей:

   $$\frac{y^2}{y^2} - \frac{y^2}{y} - 6y^2 = 0$$

   Упростим это:

   $$1 - y - 6y^2 = 0$$

   Перепишем уравнение:

   $$-6y^2 - y + 1 = 0$$

   Это квадратное уравнение относительно $y$.

3. Решим квадратное уравнение: Используем формулу для решения квадратных уравнений:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Где $a = -6$, $b = -1$, и $c = 1$. Подставим эти значения в формулу:

   $$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(-6)(1)}}{2(-6)}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{-12}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{-12}$$ $$y = \frac{1 \pm 5}{-12}$$

   Таким образом, у нас два варианта:

   • $y = \frac{1 + 5}{-12} = \frac{6}{-12} = -\frac{1}{2}$

   • $y = \frac{1 - 5}{-12} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$

4. Возвращаемся к $x$: Напоминаем, что $y = x - 2$, то есть $x = y + 2$. Подставим найденные значения $y$:

   • Для $y = -\frac{1}{2}$, $x = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$

   • Для $y = \frac{1}{3}$, $x = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$

Таким образом, решения уравнения: $x = \frac{3}{2}$ и