Решите уравнение x+√(3x+7)=7

Для решения уравнения $x + \sqrt{3x + 7} = 7$, давайте пошагово решим его.

1. Изолируем квадратный корень:

   Переносим все, что не связано с квадратным корнем, в правую часть:

   $$\sqrt{3x + 7} = 7 - x$$

2. Возводим обе стороны в квадрат:

   Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   $$(\sqrt{3x + 7})^2 = (7 - x)^2$$

   Это даст нам:

   $$3x + 7 = (7 - x)^2$$

3. Раскрываем квадрат правой части:

   Применим формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для правой части:

   $$3x + 7 = (7)^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + x^2$$ $$3x + 7 = 49 - 14x + x^2$$

4. Приводим все в одно уравнение:

   Переносим все члены на одну сторону уравнения:

   $$0 = x^2 - 14x + 49 - 3x - 7$$

   Упростим:

   $$0 = x^2 - 17x + 42$$

5. Решаем квадратное уравнение:

   Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 17x + 42 = 0$ с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Подставляем значения $a = 1$, $b = -17$, $c = 42$:

   $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 289 - 168 = 121$$

   Теперь находим корни с помощью формулы:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-(-17) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{17 \pm 11}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{17 + 11}{2} = \frac{28}{2} = 14$$ $$x_2 = \frac{17 - 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

6. Проверка решений:

   Подставим оба найденных значения $x_1 = 14$ и $x_2 = 3$ в исходное уравнение и проверим, подходят ли они.

   Для $x_1 = 14$:

   $$14 + \sqrt{3(14) + 7} = 14 + \sqrt{42 + 7} = 14 + \sqrt{49} = 14 + 7 = 21 \neq 7$$

   Таким образом, $x_1 = 14$