Решите уравнение: (х² - 4х)² + 9(х² - 4х) + 20 = 0.

Чтобы решить уравнение $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$, начнем с того, что упростим его, введя замену переменной.

1. Пусть $y = x^2 - 4x$. Таким образом, уравнение примет вид:

   $$y^2 + 9y + 20 = 0.$$

2. Это квадратное уравнение относительно $y$. Для решения используем формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac,$$

   где $a = 1$, $b = 9$, $c = 20$. Подставим эти значения:

   $$D = 9^2 - 4 \times 1 \times 20 = 81 - 80 = 1.$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения два корня. Находим их по формуле:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-9 \pm 1}{2}.$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4,$$ $$y_2 = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5.$$

3. Теперь вернемся к нашей исходной замене $y = x^2 - 4x$. Получаем два уравнения:

   $$x^2 - 4x = -4 \quad \text{и} \quad x^2 - 4x = -5.$$

4. Рассмотрим первое уравнение $x^2 - 4x = -4$. Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 - 4x + 4 = 0.$$

   Это полное квадратное уравнение:

   $$(x - 2)^2 = 0.$$

   Отсюда $x = 2$.

5. Теперь рассмотрим второе уравнение $x^2 - 4x = -5$. Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 - 4x + 5 = 0.$$

   Для этого уравнения вычислим дискриминант:

   $$D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 16 - 20 = -4.$$

   Дискриминант отрицательный, следовательно, корней в этом уравнении нет.

Итак, у уравнения есть только один действительный корень: $x = 2$.