(x+2)^4 + (x+2)^2 - 12 = 0

Для решения уравнения $(x+2)^4 + (x+2)^2 - 12 = 0$, начнем с упрощения выражений.

1. Замена переменной: Пусть $y = (x+2)^2$. Тогда уравнение примет вид:

   $$y^2 + y - 12 = 0$$

   Это квадратное уравнение относительно $y$.

2. Решение квадратного уравнения: Используем формулу для решения квадратных уравнений $ax^2 + bx + c = 0$:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Подставляем коэффициенты $a = 1$, $b = 1$, и $c = -12$:

   $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$y = \frac{-1 \pm 7}{2}$$

   Таким образом, два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \quad \text{или} \quad y = \frac{-1 - 7}{2} = -4$$

3. Возвращаемся к переменной $x$: Напоминаем, что $y = (x+2)^2$. Теперь рассмотрим два случая.

   • Если $y = 3$, то:

     $$(x+2)^2 = 3$$

     Извлекаем квадратный корень с обеих сторон:

     $$x+2 = \pm \sqrt{3}$$

     Отсюда:

     $$x = -2 \pm \sqrt{3}$$

     Это дает два решения:

     $$x = -2 + \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -2 - \sqrt{3}$$

   • Если $y = -4$, то:

     $$(x+2)^2 = -4$$

     Однако квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, у нас есть два действительных решения: