Вопрос задан 27.11.2025 в 07:35. Предмет Музыка. Спрашивает Гусев Артем.

Пользуясь теоремой Эйлера, найти остаток от деления \( (3^{51} + 5^{31}) \) на 11.

0 0 Пожаловаться
Перейти к ответам
Отвечу на вопрос мгновенно! Нейросеть ChatGPT. Жми!

Ответы на вопрос

Отвечает Шуркин Лев.

Так как 1111 — простое число, можно применить теорему Эйлера (в форме малой теоремы Ферма): для любого aa, взаимно простого с 1111, выполняется

a10≡1(mod11).a^{10}\equiv 1 \pmod{11}.

Отсюда:

  1. gcd⁡(3,11)=1\gcd(3,11)=1, значит

310≡1(mod11) ⇒ 350=(310)5≡1,351=350⋅3≡3(mod11).3^{10}\equiv 1 \pmod{11}\ \Rightarrow\ 3^{50}=(3^{10})^{5}\equiv 1,\quad 3^{51}=3^{50}\cdot 3\equiv 3 \pmod{11}.

  1. gcd⁡(5,11)=1\gcd(5,11)=1, значит

510≡1(mod11) ⇒ 530=(510)3≡1,531=530⋅5≡5(mod11).5^{10}\equiv 1 \pmod{11}\ \Rightarrow\ 5^{30}=(5^{10})^{3}\equiv 1,\quad 5^{31}=5^{30}\cdot 5\equiv 5 \pmod{11}.

Складываем:

351+531≡3+5=8(mod11).3^{51}+5^{31}\equiv 3+5=8 \pmod{11}.

Искомый остаток равен 88.

0 0 Пожаловаться
Спроси у Chat GPT бесплатно без регистрации!

Похожие вопросы

Музыка 04.04.2025 20:14 116 Никулин Юрий
Музыка 12.01.2024 20:52 344 Чубрик Алеся
Музыка 10.10.2024 20:33 130 Атрощенко Миша
Музыка 01.01.2025 16:40 130 Каримов Жахонгир
Музыка 03.01.2025 23:57 205 Корнилов Иван
Музыка 22.01.2025 21:47 177 Свищук Мирон
Музыка 01.02.2025 12:23 114 Паньковець Женя
Музыка 06.02.2025 17:10 101 Кулешова Лиза
Музыка 19.02.2025 14:29 123 Питин Давид
Музыка 05.03.2025 08:13 117 Никитина-Дикова Ольга

Топ вопросов за вчера в категории Музыка

Музыка 25.12.2023 07:08 2301 Агарок Татьяна
Музыка 04.02.2025 09:53 179 Алейникова Нина
Музыка 30.11.2024 11:42 350 Самарский Кирилл
Музыка 11.12.2024 09:17 266 Ілюк Вова
Музыка 04.01.2024 07:10 588 Арутюнян Ясмина
Музыка 22.01.2024 07:05 525 Барабошина Марина
Музыка 23.12.2023 03:54 4246 Тюфякина Анастасия
Музыка 31.12.2023 22:22 369 Печерица Людмила
Музыка 12.11.2024 17:53 1215 Жаманқұлова Нұргүл
Музыка 16.04.2025 07:06 108 Мирная Анжелика

Последние заданные вопросы в категории Музыка

Музыка 19.10.2025 12:03 10 Глазунов Данил
Музыка 19.10.2025 11:57 26 Подольная Настя
Музыка 12.10.2025 18:57 20 Мирная Анастасия
Музыка 10.10.2025 04:08 21 Жансай Гулжазира
Музыка 10.10.2025 03:56 7 Шитиков Влад
Музыка 28.09.2025 07:55 28 Нескоромный Ярик
Музыка 27.11.2025 10:32 20 Кузьмина Ульяна
Музыка 27.11.2025 10:25 17 Миронов Александр
Музыка 27.11.2025 07:35 18 Гусев Артем
Музыка 26.11.2025 11:59 15 Шелудченко Тима
< Предыдущий Следующий >
Предметы
Задать вопрос
Задать вопрос