Вопрос задан 27.11.2025 в 07:35. Предмет Музыка. Спрашивает Гусев Артем.

Пользуясь теоремой Эйлера, найти остаток от деления \( (3^{51} + 5^{31}) \) на 11.

0 0 Пожаловаться
Перейти к ответам
Отвечу на вопрос мгновенно! Нейросеть ChatGPT. Жми!

Ответы на вопрос

Отвечает Шуркин Лев.

Так как 1111 — простое число, можно применить теорему Эйлера (в форме малой теоремы Ферма): для любого aa, взаимно простого с 1111, выполняется

a10≡1(mod11).a^{10}\equiv 1 \pmod{11}.

Отсюда:

  1. gcd⁡(3,11)=1\gcd(3,11)=1, значит

310≡1(mod11) ⇒ 350=(310)5≡1,351=350⋅3≡3(mod11).3^{10}\equiv 1 \pmod{11}\ \Rightarrow\ 3^{50}=(3^{10})^{5}\equiv 1,\quad 3^{51}=3^{50}\cdot 3\equiv 3 \pmod{11}.

  1. gcd⁡(5,11)=1\gcd(5,11)=1, значит

510≡1(mod11) ⇒ 530=(510)3≡1,531=530⋅5≡5(mod11).5^{10}\equiv 1 \pmod{11}\ \Rightarrow\ 5^{30}=(5^{10})^{3}\equiv 1,\quad 5^{31}=5^{30}\cdot 5\equiv 5 \pmod{11}.

Складываем:

351+531≡3+5=8(mod11).3^{51}+5^{31}\equiv 3+5=8 \pmod{11}.

Искомый остаток равен 88.

0 0 Пожаловаться
Спроси у Chat GPT бесплатно без регистрации!

Похожие вопросы

Музыка 04.04.2025 20:14 121 Никулин Юрий
Музыка 12.01.2024 20:52 388 Чубрик Алеся
Музыка 10.10.2024 20:33 157 Атрощенко Миша
Музыка 01.01.2025 16:40 132 Каримов Жахонгир
Музыка 03.01.2025 23:57 214 Корнилов Иван
Музыка 22.01.2025 21:47 199 Свищук Мирон
Музыка 01.02.2025 12:23 129 Паньковець Женя
Музыка 06.02.2025 17:10 103 Кулешова Лиза
Музыка 19.02.2025 14:29 134 Питин Давид
Музыка 05.03.2025 08:13 118 Никитина-Дикова Ольга

Топ вопросов за вчера в категории Музыка

Музыка 28.04.2025 15:53 438 Ким Катя
Музыка 27.03.2025 09:50 946 Sapargalieva Inkar
Музыка 23.12.2023 03:54 5133 Тюфякина Анастасия
Музыка 23.01.2025 16:42 820 Кубик Дима
Музыка 29.01.2024 07:26 518 Gryaznov Artem
Музыка 25.12.2023 07:08 3246 Агарок Татьяна
Музыка 11.01.2025 17:02 606 Ким Туяна
Музыка 23.01.2025 16:07 190 Исаенко Саша
Музыка 04.01.2024 07:10 823 Арутюнян Ясмина
Музыка 13.01.2024 10:12 1688 Васильев Давид

Последние заданные вопросы в категории Музыка

Музыка 13.10.2026 07:29 14 Цвигун Семен
Музыка 13.10.2026 08:02 13 Куропата Максим
Музыка 13.10.2026 08:09 21 Юнаев Никита
Музыка 13.10.2026 08:42 21 Миниахметова Ралина
Музыка 13.10.2026 09:04 20 Никольская Лилия
Музыка 13.10.2026 09:08 13 Стецько Андрей
Музыка 13.10.2026 09:42 12 Лебедева Юлия
Музыка 13.10.2026 09:55 22 Громова Софья
Музыка 13.10.2026 09:58 18 Малинина Катя
Музыка 13.10.2026 10:48 13 Клиндухов Андрей
< Предыдущий Следующий >
Предметы
Задать вопрос
Задать вопрос