Математический маятник, отклоняясь от положения равновесия, поднимается на высоту 10 см. С какой скоростью шарик маятника проходит положение равновесия?

Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом сохранения механической энергии.

Когда маятник отклоняется от положения равновесия, его потенциальная энергия увеличивается за счет подъема на высоту 10 см. При прохождении положения равновесия вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую.

1. Потенциальная энергия в положении максимального отклонения:
   Потенциальная энергия маятника $E_{\text{пот}}$ равна произведению массы шарика на ускорение свободного падения $g$ и высоту подъема $h$:

   $$E_{\text{пот}} = mgh$$

   где:

   • $m$ — масса шарика,

   • $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно $9.8 \, \text{м/с}^2$),

   • $h = 0.1 \, \text{м}$ — высота, на которую поднимется маятник.

2. Кинетическая энергия при прохождении положения равновесия:
   В момент прохождения положения равновесия вся потенциальная энергия превращается в кинетическую. Кинетическая энергия $E_{\text{кин}}$ определяется как:

   $$E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2$$

   где $v$ — скорость шарика в момент прохождения положения равновесия.

3. Сохранение механической энергии:
   По закону сохранения механической энергии:

   $$E_{\text{пот}} = E_{\text{кин}}$$

   Подставляем выражения для энергии:

   $$mgh = \frac{1}{2} m v^2$$

   Масса $m$ сокращается, и уравнение упрощается:

   $$gh = \frac{1}{2} v^2$$

   Из этого можно выразить скорость $v$:

   $$v = \sqrt{2gh}$$

4. Подставляем значения:
   Подставляем $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ и $h = 0.1 \, \text{м}$:

   $$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.1} = \sqrt{1.96} \approx 1.4 \, \text{м/с}$$

Таким образом, скорость шарика маятника в момент прохождения положения равновесия составляет примерно 1.4 м/с.