Треть пути человек ехал на велосипеде со скоростью 20 км/ч, а остаток пути бежал со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость на всём пути?

Для того чтобы вычислить среднюю скорость на всём пути, нужно понять, как она определяется. Средняя скорость на всём пути — это отношение общего пути к общему времени, затраченному на его преодоление.

Предположим, что общий путь составляет $S$ километров.

1. Часть пути на велосипеде:
   Человек ехал треть пути на велосипеде. Значит, расстояние, пройденное на велосипеде, равно $\frac{S}{3}$.
   Скорость на велосипеде — 20 км/ч. Время, затраченное на этот участок пути, можно вычислить по формуле:

   $$t_1 = \frac{\frac{S}{3}}{20} = \frac{S}{60}$$

2. Часть пути бегом:
   Оставшуюся часть пути человек бежал. Это будет $\frac{2S}{3}$.
   Скорость бега — 10 км/ч. Время, затраченное на этот участок пути:

   $$t_2 = \frac{\frac{2S}{3}}{10} = \frac{2S}{30} = \frac{S}{15}$$

3. Общее время:
   Суммируем время, затраченное на обе части пути:

   $$t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 = \frac{S}{60} + \frac{S}{15}$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$t_{\text{общ}} = \frac{S}{60} + \frac{4S}{60} = \frac{5S}{60} = \frac{S}{12}$$

4. Средняя скорость:
   Средняя скорость — это общий путь, делённый на общее время. Путь был равен $S$, а время — $\frac{S}{12}$. Тогда средняя скорость:

   $$v_{\text{ср}} = \frac{S}{\frac{S}{12}} = 12 \text{ км/ч}$$

Ответ: средняя скорость на всём пути составляет 12 км/ч.