При движении тела со скоростью, сравнимой со скоростью света, меняются размеры тела?

Коротко: да, но только в направлении движения и только с точки зрения внешнего наблюдателя. В собственной системе отсчёта тела его размеры не меняются.

Подробно:

1. Лоренцево сокращение длины
   Если стержень покоится в своей системе отсчёта, его «собственная длина» $L_0$. Наблюдатель, мимо которого стержень пролетает со скоростью $v$, измерит длину

То есть чем ближе $v$ к $c$, тем сильнее сокращение. Примеры:

• при $v=0{,}8c$: $\gamma\approx1{,}667\Rightarrow L\approx0{,}60\,L_0$;

• при $v=0{,}99c$: $\gamma\approx7{,}09\Rightarrow L\approx0{,}141\,L_0$.

2. Только вдоль движения
   Идеальная специальная теория относительности предсказывает, что поперечные размеры (перпендикулярные скорости) не меняются. Сокращение — строго вдоль вектора скорости.

3. Это не «сжатие» материи
   Атомы не «плющатся» в собственной системе отсчёта тела. Эффект — следствие геометрии пространства-времени и относительности одновременности: чтобы измерить длину движущегося объекта, нужно зафиксировать одновременно (в вашей системе) координаты его концов, а понятие «одновременно» различается для движущихся систем.

4. Видимое изображение ≠ геометрическая длина
   Из-за конечной скорости света быстро движущийся объект может казаться не столько короче, сколько «повёрнутым» (эффект Террелла–Пенроуза). Это оптическая иллюзия; истинная метрика длины всё равно подчиняется формуле выше.

5. Что чувствует само тело
   Пока тело находится в равномерном движении, в своей системе отсчёта оно покоится и имеет длину $L_0$ без внутренних напряжений. Однако ускорение идеально «жёсткого» тела физически невозможно (понятие Борновской жёсткости): если пытаться разогнать длинный стержень, по нему пойдут упругие волны и возникнут напряжения, пока вся длина не выйдет в новый инерциальный режим.

6. Связанные эффекты
   Наряду с сокращением длины возникают и другие релятивистские эффекты: замедление времени ($t=\gamma\,t_0$ для ваших часов, если на них смотрит внешний наблюдатель) и релятивистское сложение скоростей. Говорить о «росте массы» сегодня не принято; корректнее — об увеличении энергии и импульса с $\gamma$.

Итог: размеры движущегося тела кажутся уменьшенными вдоль направления движения по закону $L=L_0/\gamma$ для внешнего наблюдателя; в собственной системе отсчёта тела никаких изменений размеров нет.