Почему вода из ванны вытекает быстрее, если в нее погружается человек?

Потому что, когда в ванну садится человек, он вытесняет часть воды, уровень поднимается, а вместе с ним растёт и гидростатическое давление на слив. Скорость вытекания через отверстие под действием тяжести зависит от «напора» — высоты столба воды над сливом: $v \sim \sqrt{2gh}$. Чем больше $h$, тем быстрее вода уходит. Соответственно, и расход $Q$ (сколько литров в секунду уходит) тоже растёт: $Q = C\,A\,\sqrt{2gh}$, где $A$ — площадь сливного отверстия, $C$ — коэффициент расхода.

Что это значит «по-домашнему»:

• Тело вытесняет объём воды $V_\text{чел}$, из-за чего уровень повышается на $\Delta h \approx V_\text{чел}/S$, где $S$ — площадь поверхности воды в ванне. Даже несколько сантиметров добавки заметно увеличивают напор.

• При большем напоре вода не только течёт быстрее в данный момент, но и дольше остаётся «на повышенном уровне» по мере опустошения ванны: пока человек внутри, ванна при том же остаточном объёме воды имеет более высокий уровень, чем без человека. Средняя скорость слива за всё время получается выше.

• Дополнительный эффект дают колебания и перемешивание, когда человек двигается: волны периодически увеличивают локальный напор у слива, а турбулентность снижает сопротивление потоку. Это добавляет ещё немного к скорости.

Небольшая оценка: если человек вытеснил ~60 л (0,06 м³), а площадь зеркала воды ~1 м², уровень поднимется на ~6 см. Если было 30 см воды над сливом, стало 36 см. Отношение скоростей $\sqrt{36/30} \approx 1{,}095$ — то есть примерно на 10 % быстрее, даже без учёта волн и перемешивания.