Камень брошен вертикально вверх со скоростью 12 м/с. На какой высоте его кинетическая и потенциальная энергии будут равны?

Для решения задачи используем принципы механики, включая закон сохранения энергии. Рассмотрим момент, когда кинетическая и потенциальная энергия камня равны.

1. Начальная кинетическая энергия (при старте) камня равна:

   $$E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m v_0^2$$

   где $v_0 = 12 \, \text{м/с}$ — начальная скорость, а $m$ — масса камня.

2. Потенциальная энергия на высоте $h$ определяется по формуле:

   $$E_{\text{п}} = mgh$$

   где $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно $9.8 \, \text{м/с}^2$), а $h$ — высота.

3. Сохранение механической энергии:
   Сумма кинетической и потенциальной энергии на любой высоте сохраняется и равна начальной полной энергии. Начальная энергия состоит только из кинетической энергии:

   $$E_{\text{полн}} = E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m v_0^2$$

   На высоте $h$ кинетическая энергия и потенциальная энергия равны, то есть:

   $$E_{\text{к}} = E_{\text{п}}$$

4. Запишем уравнение для кинетической и потенциальной энергии на высоте $h$:

   $$\frac{1}{2} m v^2 = mgh$$

   где $v$ — скорость на высоте $h$. В момент, когда кинетическая энергия равна потенциальной, скорость будет равна:

   $$v = \sqrt{2gh}$$

5. Используем закон сохранения энергии:
   На высоте $h$ сумма кинетической и потенциальной энергии должна быть равна начальной энергии:

   $$\frac{1}{2} m v_0^2 = mgh + mgh$$

   Это упрощается в следующее уравнение:

   $$\frac{1}{2} v_0^2 = 2gh$$

6. Подставим значения:

   $$\frac{1}{2} (12)^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot h$$ $$\frac{1}{2} \cdot 144 = 19.6h$$ $$72 = 19.6h$$ $$h = \frac{72}{19.6} \approx 3.67 \, \text{м}$$

Ответ: Кинетическая и потенциальная энергия будут равны на высоте примерно 3,67 м.